Урок 13. Тригонометричні функції числового аргументу
16:44

…Розвиток тригонометрії із синтетичної геометрії є добрим прикладом діалектики, яка розглядає речі не в їх ізольованості, а в їх взаємному зв’язку
(Ф.Енгельс)

Перехід у вивченні кутів від кута трикутника до кута повороту дозволяє розглядати значення тригонометричних функцій не тільки кутів, менших за 180°, а і кутів більших градусних мір. Завдяки цьому з’явилась можливість створити потрібний математичний інструментарій для вивчення багатьох питань не тільки самої математики, а й фізики, хімії, астрономії.
Так виникло поняття тригонометричного кола, з яким Ви вже знайомі. Повторіть за підручником геометрії 9 класу означення синуса, косинуса і тангенса для будь-якого кута від 0° до 180° [п.1.1.]:


Тепер опрацюйте матеріал підручника алгебри 10 класу [п.19 с.162-164].



Зверніть увагу на пропоновані нижче питання. Чи не виникли вони у Вас?

Означення тригонометричних функцій числового аргументу… До чого тут коло?
Не забуваймо про те, що ми говоримо про кути повороту. Тож візьмемо два промені зі спільним початком, залишимо один промінь нерухомо, а на іншому позначимо довільну точку і почнемо повертати цей промінь на довільні кути.
Якщо промінь №2 послідовно займатиме положення для всіх кутів від 0° до 360°, то яку траєкторію тоді пройде точка на цьому промені? Отож! Таким чином, кут повороту буде задано двома променями – один з яких зафіксований, а другий починається там же де і перший – в центрі кола і проходить через довільну точку, що належить цьому колу.

Чому означення тригонометричних функцій виводяться через координати точок? А куди поділися катети трикутника?
Повернемось знову до нашого кола. Поворот променя утворює безліч кутів α∈[0°;360°]. Однак, якими б ці кути не були, їх косинус (синус, тангенс, котангенс) залежить тільки від градусної міри кута. Значить, розмір кола (його радіус) для вивчення положень точок на промені №2, який рухається, не має ніякого значення. Тому можемо взяти коло, радіус якого дорівнює одиниці, так зване "одиничне коло".
Побудуємо кут повороту: одна зі сторін цього кута – промінь, що виходить з центру кола і перетинає це коло в якійсь довільній точці, друга сторона – теж промінь з початком в центрі кола, але куди його направити?
Положення другого променя можна задати двома способами: кутом між першим променем і другим ("гарний" спосіб, нічого не скажеш – щоб визначити кут треба задати цей самий кут; то що тоді ще визначати?) або ще однією точкою, через яку проходить промінь №2 (оце вже трохи краще, принаймні не доведеться визначати кут сам через себе!). Питання тільки в тому, як знайти потрібну точку на площині, а саме, на нашому одиничному колі? Стоп! Що дозволяє знайти місце положення точки на площині? Правильно! (Слава Декарту!) Тож проведемо систему координат, зорієнтувавши її таким чином, щоб початок відліку співпадав з вершиною кута, а додатний напрямок вісі Ox – з напрямком першого променя. Тепер можемо, відмітивши довільну точку A(x;y)  на колі, задати будь-який кут α.


Відмітимо точки Ax (проекція точки A на вісь Ox ) і Ay. Тепер координати точки A можна позначити так: A(OAx;OAy), оскільки довжина відрізка OAx дорівнює відстані від початку координат до абсциси точки A, тобто абсцисою точки і є довжина відрізка OAx (OAx). Аналогічно, ординатою точки A є довжина відрізка OAy , або ж AAx, що по довжині одне і те ж (AAOAy).
Розглянемо ΔAOAx. Цей трикутник прямокутний з гіпотенузою OA і катетами OAx і AAx. Значить, в цьому трикутнику справджуються співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику, а саме: AAOAOA∙sinα = 1∙sinα = sinα (катет, протилежний куту α дорівнює добутку гіпотенузи на sinα).
З аналогічних причин OAOA∙cosα= 1∙cosα = cosα. Тепер координати точки A можна записати так: A(cosα;sinα).
То куди поділися катети трикутника? Просто в даній ситуації їх можна виразити так: OAx = cosαAAx = sinα.

Чи можна ще раз уточнити: синусом кута називається ордината точки, тому що , а оскільки в одиничному колі R = 1, то  ? Так?
Дійсно, рівності sinα = y і cosα = x, а також означення тригонометричних функцій числового аргументу можна і так пояснити теж.

Якщо OAx = cosα, а AAx = sinα, тоді з ΔAOAx за теоремою Піфагора OAx2 + AAx2 = 12 ⇒ cos2α + sin2α = 1 і тоді таким чином виходить одна з тригонометричних тотожностей, яку ми вивчали на уроках геометрії у 9 класі!
Цілком вірно! А ще з рівностей OAx = x та AAx = OAy = y і теореми Піфагора в даній ситуації слідує рівність x2 + y2 = 1, яка, як відомо, є рівнянням кола з центром в початку координат і радіусом 1.

Не зрозуміло, як вдалося порахувати значення тригонометричних функцій для кутів 0°, 90°, 180°?
Вирахувати ці значення можна двома способами – геометричним і алгебраїчним:
КутГеометричне поясненняАлгебраїчне пояснення
Синус кута це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Для 0° протилежний катет дорівнює нулю, а тому, на що його не діліть, а sin 0° = 0.
Косинус кута це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Для кута 0° прилеглий катет співпадає з гіпотенузою, значить вони рівні і їх відношення буде дорівнювати 1. Отже, cos 0° = 1.
Синусом числа називається ордината точки. Косинусом – абсциса точки. Для кута 0° точка A (див. малюнок) лежить на вісі абсцис. Координати цієї точки A(1;0). Звідси cos 0° = 1, sin 0° = 0 .
90°Для кута 90° протилежний катет співпадає з гіпотенузою, а прилеглий – дорівнює нулю. Тому sin 90° = 1, а cos 90° = 0.
Для кута 90° точка A (див. малюнок) лежить на вісі ординат. Координати цієї точки A(0;1). Звідси cos 90° = 0, sin 90° = 1.
180°
Геометричне пояснення для синуса і косинуса 180° дати неможливо, оскільки трикутник з кутом 180° не є прямокутним, а значить немає сенсу говорити ані про катети, ані про гіпотенузу – в цьому трикутнику таких сторін немає.
Якщо кут дорівнює 180°, тоді точка A лежить на вісі абсцис (див. малюнок) і її координати A(–1;0). Ось тому cos 180° = –1, а sin 180° = 0 .

Якщо вже бути зовсім точним, то трикутник з кутом 180° можна собі уявити, але тільки уявити і не більше. Він матиме один кут 180° і два кути по 0°. Зрозуміло, що насправді ця фігура не буде трикутником в прийнятому нами розумінні, оскільки тоді така фігура являтиме собою не що інше як відрізок з якою-небудь точкою всередині. Це суперечить означенню трикутника, згідно з яким вершини трикутника не повинні лежати на одній прямій.
Цікаво, що теоретично трикутники з одним з кутів 0° можна вважати прямокутними. Так, якщо трикутник містить кут 0°, тоді дві його сторони співпадають, а третя дорівнює нулю і він містить два кути які можна назвати прямими (щоправда, у такого трикутника буде і дві гіпотенузи – сторони, що лежать проти прямого кута). Поміркуйте на дозвіллі про такий "трикутник" і помітите кілька цікавих його особливостей.

Значення для tg 90° і tg 270°, ctg 0° і ctg 180° не існують, оскільки, керуючись означенням тангенса і котангенса, в цих випадках доводиться ділити на 0.

Якщо придивитися до координат всіх точок, з яких складається одиничне коло, то стає зрозуміло, що ані абсциса, ані ордината жодної з цих точок не можуть бути більшими від 1 і меншими від –1. Так значить ні синус, ні косинус кута не можуть бути більшими за 1 і меншими за 1?
Це дійсно так! Пригадайте, в курсі геометрії 8 класу Ви вивчали наслідки з теореми Піфагора, один з яких стверджував, що синус і косинус кута не більші за 1. Все це через те, що синус і косинус – це відношення катета до гіпотенузи, а в прямокутному трикутнику катет завжди менший за гіпотенузу, тому частка від ділення завжди виражатися буде правильним дробом, який не більший за 1. Тепер цей наслідок обґрунтовано за допомогою тригонометричного кола. Окрім того тепер ще з'ясувалось і найменше значення синуса і косинуса кута – це 1.
Що ж до тангенса і котангенса, то їх значення не мають обмежень, оскільки відношення між абсцисою і ординатою можуть бути як "менший до більшого" так і "більший до меншого". В останньому випадку частка від такого ділення буде більша за 1.
З іншого боку, якщо одна з координат від’ємне число, то відношення чисел з різними знаками – число від’ємне, але оскільки модулі цих чисел теж можуть відноситися як "більший до меншого", то і в цьому випадку не маємо обмежень для значень тангенса і котангенса.
Таким чином:

sinα∈[–1;1];  cosα∈[–1;1];  tgα∈[–∞;+∞];  ctgα∈[–∞;+∞]

sin(180°α) = sinα; cos(180°α) = cosα; tg(180°α) =  tgα. Такі формули ми колись вивчали, але звідки вони беруться не пам’ятаю. Де про це можна прочитати?
Це ота сама властивість тригонометричних функцій, яка відома вам з 9 класу як "Правило слоника" . Зверніться до підручника геометрії за 9 клас [п.1.2, с.9] (див. теорему):


Як на тригонометричному колові позначити кут, міра якого виражена не в градусах, а в радіанах?
У цьому Вам допоможе таблиця, яку Ви заповнили, виконуючи завдання 5.2. і малюнок нижче:

Однак, в ряді випадків буває простіше спочатку перевести радіани в градуси і позначати кути, користуючись градусною мірою. Зрозуміло, що в таких задачах не вимагається абсолютно точної побудови кута. Точку, через яку проходить другий промінь, знаходять по принципу "десь тут", тобто приблизно. Головне – точка повинна бути в правильній координатній чверті і правильно розміщуватися відносно бісектриси координатного кута, тобто, наприклад, кут, зображений на малюнку явно не відповідає мірі 35°, оскільки і без транспортира видно, що він більший за 45°.



Ну і як всі ці нові-старі означення допоможуть нам визначати тригонометричні функції кутів?
Правильне запитання! А, дійсно, для чого потрібне це нововведення?
Перша відповідь на це питання на поверхні. Що потрібно було робити раніше, на уроках геометрії, для обчислення значень тригонометричних функцій кутів? Ділити одну сторону трикутника на другу, або ж за відомим кутом знаходити значення тригонометричної функції, користуючись таблицею чи калькулятором! Тепер же нам достатньо поглянути на координати точки на тригонометричному колові.
Про інші вигоди стане зрозуміло після того, як ознайомитесь з матеріалами наступних уроків.
Так що, вперед, рухаємось далі!


Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 22 | Додав: alexander