Урок 1. Тригонометричні функції кута
14:09

Без повторення немає глибини
(Г.Ландау)




Як відомо з курсу геометрії, кутом називається фігура, яка складається з точки – вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять з цієї точки – сторін кута



Виходячи зі співвідношень між сторонами і кутами в трикутниках, зокрема в прямокутних, було введено означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута прямокутного трикутника, а також доведено, що значення цих співвідношень залежить тільки від величини кута.




Однак, говорячи про кути, слід пам’ятати не тільки про геометричну суть цього поняття. Вивчення фізичних явищ приводить нас до ще одного розуміння поняття кута, такого як "кут повороту". Згідно з означенням повороту – це такий рух, при якому кожний промінь, що виходить з даної точки, повертається на один і той самий кут в одному і тому самому напрямі. Зрозуміло, що поворот на площині може виконуватися тільки в двох напрямках – за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Для розрізнення цих поворотів прийнято поворот проти годинникової стрілки вважати додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним.

Поворот в додатному напрямку
(на додатний кут)


Поворот у від'ємному напрямку
(на від'ємний кут)

Чому саме так? Мабуть, відповідно до руху Сонця, адже воно рухається саме проти годинникової стрілки – зі сходу на захід. От стародавні математики й вирішили, що "правильним" (додатним) напрямком руху буде саме "справа наліво".



На який найбільший кут можна повернутися таким чином?
Якщо кут між двома півпрямими, що співпадають прийняти рівними 0°, зафіксувати одну з цих півпрямих, а другу повертати, то внаслідок повороту ця друга півпряма послідовно прийматиме положення, які можна виразити градусною мірою кута.

Відкрити анімацію


Після того, як друга півпряма суміститься з продовженням першої отримаємо кут 180°, який називають розгорнутим.
Переміщуючи півпряму далі, отримуватимемо кути з градусною мірою, більшою за 180°. Зрозуміло, що врешті-решт півпряма зробить повний оберт навколо вершини кута, повернувшись таким чином на кут 180° + 180° = 360°.

Відкрити анімацію




Чи існують кути більші за 360°? Що можна сказати, наприклад про кут 420°?
Для того, щоб побудувати такий кут потрібно здійснити повний оберт (360°) півпрямої, а потім повернути її ще на 60° (420° = 360° + 60°). Виконуючи такі побудови ми отримаємо кут, геометрично рівний куту 60°. Ось тому, якщо розуміти кут як множину точок площини, то, звичайно, кут, градусна міра якого більша за 360° не має сенсу, оскільки він рівний куту з градусною мірою, меншою  за 180°. Якщо ж мати на увазі таке поняття як "кут повороту", то, звісно, поворот деталі на 60° і її оберт на 420° значно відрізняються.
Те ж саме стосується і повороту у від’ємному напрямку – за годинниковою стрілкою.
Кути довільного розміру описують, наприклад, стрілки годинника, точки обертових частин механізмів тощо.

Відкрити анімацію





Замініть кут повороту 485° еквівалентним йому кутом, меншим за 360°.
Щоб розв'язати таку задачу, потрібно відповісти на два питання:
  1. Скільки разів у 485° поміститься повний оберт 360°?
  2. На скільки градусів потрібно після цього повернутися ще, щоб в результаті отримати 485°?

Відповіді на ці питання очевидні: 485° – це 360° і ще 125° (485° = 360° + 125°).
Отже, куту повороту 485° відповідає кут повороту 125° в додатному напрямку (проти годинникової стрілки).
Відповідь: 125°.



Замініть кут повороту –2017° еквівалентним йому кутом, меншим за 360°.
Якщо у попередньому прикладі кількість повних обертів була очевидною, то тут не все так просто, тому доведеться ділити. Маємо:
2017 : 360 = 5 (ост.217).
Отже, кут –2017° можна замінити поворотом на кут –217°.
Відповідь:217°

Міркуючи аналогічно, можна розв'язати дещо складнішу задачу і замінити кут –2017° кутом, меншим за 180°. Для цього ділимо 2017 на 180. Маємо:
2017 : 180 = 11 (ост.37).
Отже, потрібно повернутися 11 разів у від'ємному напрямку на 180°, а потім ще раз на 37°. Це відповідає повороту в додатному напрямку на 180°  37° = 143°.

Тепер вивчіть означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника за списком. Для полегшення запам'ятовування можете також використати інформацію, наведену в опорному конспекті.

  • Синусом кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
  • Косинусом кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенсом кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого.
  • Котангенсом кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного.
  • Значення тригонометричних функцій не залежать від розміщення кута і сторін трикутника, а залежать тільки від градусної міри самого кута.
  • Катет, протилежний до кута α дорівнює добутку гіпотенузи на sin α.
  • Катет, прилеглий до кута α дорівнює добутку гіпотенузи на cos α.
  • Катет, протилежний до кута α дорівнює добутку другого катета на tg α.
  • Катет, прилеглий до кута α дорівнює добутку другого катета на ctg α.
  • Синус одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює косинусу другого.
  • Тангенс одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює котангенсу другого.


Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 52 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]