Урок 23. Основні тригонометричні тотожності
20:52
Час переходити до вивчення закономірностей в тригонометричних функціях.

Опрацюйте матеріал підручника з геометрії за 8 клас на с.201 (див. розділ "Для допитливих"). Розберіться з виведенням трьох перших тригонометричних формул:

1) sin2α+cos2α=1 (основна тригонометрична тотожність),
2) 
3)




З цих трьох формул нескладно отримати ще п'ять. Відкрийте тепер підручник з алгебри і опрацюйте п.24 (с.197):




Вивчіть ці формули напам'ять:



Розгляньте ці формули спочатку кожну окремо, а потім порівняйте ті, що розміщені по вертикалях і по горизонталях. Якщо знайдете взаємозв'язок між деякими з них – запам'ятати їх буде легше.

Перевірити, як вивчено ці формули можна тут.

Основні тригонометричні тотожності служать для спрощення тригонометричних виразів під час обчислення їх значень. Приклади застосування цих формул розберіть за підручником (с.198-199 Приклади 1-4).

В перетвореннях тригонометричних виразів, чим Ви і будете займатися до кінця вивчення теми, немає нічого складного.
Принцип такий:
1) дивимось уважно на вираз, який нам пропонують в умові, і знаходимо, які тригонометричні формули (і формули скороченого множення, так-так, вони теж часто використовуються для перетворення тригонометричних виразів – повторіть їх!) можна використати в даному прикладі.
2) заміняємо компоненти виразу компонентами формул, які підходять, виконуємо алгебраїчні перетворення (розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки, скорочуємо дроби, тощо).
3) знову виконуємо п.1) і так доти, доки вираз не буде спрощено.
Як правило, перетворення виразів не вимагає якихось спеціальних методів чи способів. Слід тільки повністю покластися на саму математику і виконувати ті дії, які вона нас "просить" виконати. Звичайно ж для того, щоб чути "прохання" слід знати мову, якою "говорить" наука. Ця мова – мова формул, теорем, правил. Той, хто їх знає – добре розуміє і мову математики. Отже, "прислухайтесь" до прикладу! "Чуєте" його? Що він Вам "радить" зробити?

23.1. Спростити вирази:


23.2. Обчислити значення решти тригонометричних функцій за даним значенням однієї з них:

23.3. Довести тотожність:


І знову порада. Стосовно №23,3, в якому потрібно довести тотожність. Тотожність, як відомо, – це рівність, правильна при будь-якому значенні змінної. Таким чином потрібно довести, що ліва і права частини рівні. Зробити це можна трьома способами:
1) Шляхом тотожних перетворень лівої частини рівності отримати праву (зліва направо).
2) Шляхом тотожних перетворень правої частини рівності отримати ліву (справа наліво).
3) Шляхом тотожних перетворень обох частин рівності отримати рівні вирази. (і справа, і зліва)
Яким способом користуватися? А тим, який швидше приведе до потрібного результату.

23.4. Дано: tgα + ctgα = m. Знайти:
1) tg2α + ctg2α;
2) tg3α + ctg3α

23.5. Обчислити:




Показати підказки
23.1.13. Допоможе заміна змінної sin2α = x, легше буде перетворювати вираз. Не забудьте тільки потім усе повернути назад.
23.1.14. 
23.1.15. Представте дріб, що у дужках, у вигляді різниці двох дробів зі спільним знаменником cos2α.
23.1.16. Просто робіть те, що "просить" вираз: зводьте дроби під знаком кореня до спільного знаменника. Не забудьте тільки, що 23.2.4. Розглядуваний кут міститься у IV чверті, тож пам'ятаймо про знаки тригонометричних функцій!
23.3.9. Відкриваємо дужки...
23.3.10. За формулою . Залишилось показати, що . Чого від нас це вираз "хоче"?
23.3.11. Доведеться "повозитися" з формулою суми кубів і ще один вираз доповнити до квадрата суми...
23.3.12. Оце якраз той випадок, коли потрібно буде перетворювати і праву, і ліву частини рівності.
23.4.1. А спробуйте розв'язати це завдання з кінця (от тільки не треба перетворювати tg2α+ctg2α – мабуть уже здогадалися, що від цього стане тільки гірше!). Що потрібно отримати? Суму квадратів? А якщо піднести до квадрата ліву і праву частини того, що дане в умові?
23.5.1. По значенню тангенса можна обчислити косинус, а потім синус. Тільки не забудьте про "квадрати"!


"6"№23.1(1-6) (по 1 балу)
№23.3(1-4) (по 1 балу)

Всього: 10 балів
"9"№23.1(7-12) (по 2 бали)
№23.2 (по 2 бали)
№23.3(5-8) (по 2 бали)

Всього: 28 балів
"12"№23.1(13-16) (по 3 бали)
№23.2 (по 2 бали)
№23.3(9-12) (по 3 бали)
№23.4 (по 3 бали)
№23.5 (по 3 бали)

Всього: 44 бали



Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 53 | Додав: alexander