Урок 24. Формули суми і різниці двох аргументів
14:27

Ми не можемо зрозуміти цю формулу, і ми не знаємо, що вона означає,
але ми довели її і тому знаємо, що вона повинна бути достовірною
(якийсь професор математики про одну з теорем Л.Ейлера)


В цьому уроці мова піде про нові формули, які дозволятимуть обчислити значення тригонометричних функцій для т.зв. композицій, тобто поворотів спочатку на кут α, а потім на кут β.

Повернімо радіус OA, що дорівнює R, навколо точки O спочатку на кут α, а потім на кут β. Отримаємо радіуси OB і OC. Обчислимо тепер скалярний добуток векторів  і . Нехай координати точки B дорівнюють (x1;y1), а координати точки C  дорівнюють (x2;y2). Оскільки початкова точка обох векторів O(0;0), то ці самі координати матимуть і вектори (x1;y1), (x2;y2). За означенням скалярного добутку векторів маємо: .
Запишемо скалярний добуток  через тригонометричні функції кутів α і β. З означення косинуса і синуса випливає, що x1=Rcosα, y1=Rsinα, x2=Rcosβ, y2=Rsinβ.
Підставляємо значення x1, x2y1 та y2 в праву частину рівності . Отримуємо: 
.
Отже, . (*)
З іншого боку, за теоремою про скалярний добуток векторів маємо:
.
Кут між векторами  і  може дорівнювати як αβ (якщо α<180°), так і 2πα+β=2π–(αβ) (в разі якщо α>180°) або відрізнятися від цих значень на ціле число обертів. У будь-якому з цих випадків cos∠BOC=cos(αβ).
Тому  (**)
Співставляючи (*) і (**) і пам’ятаючи, що R=1, отримуємо рівність:
cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ.


Якщо α<180°, то з кутом BOC все зрозуміло, а як обчислено кут BOC в разі α>180°? Чому ∠BOC=2π–α+β?
Щоб отримати відповідь на це запитання, погляньмо на малюнок

Який же з кутів між векторами  і  є саме тим, косинус якого слід відшукати? Зовнішній, чи внутрішній? Той, що більше за 180° чи той, що менше за 180°?
Справа у тому, що ОБИДВА! Відповідно до означення кута.
Щоб отримати кут, який зображено на малюнку нижче (зовнішній кут), потрібно від кута α відняти кут β.

Геометрично це виглядатиме так:

Що стосується іншого, меншого кута, то для того, щоб його отримати, потрібно взяти повне коло, тобто  2π  і "вирізати" з нього кут α. От уже і маємо 2πα. Однак,  та частина, що залишилась після "вирізування"   менша ніж треба якраз на кут β. Значить потрібно тепер цей кут β до   отриманого кута додати.  От і виходить, що ∠BOC=2πα+β


А як таке може бути, що яким би не був кут BOC (більшим за 180° чи меншим за 180°), а cos∠BOC=cos(α–β)?
Тоді ж виходить, що cos(α–β)=cos(2π–(α–β)) ?..
Причина цього в тому, що від зміни кута на ціле число обертів значення косинуса (та і синуса теж) не змінюються. Кути α, і –α мають однакові значення косинуса – це вже відомо з Уроку 17. А тепер побудуйте на тригонометричному колі кути α та 2πα і подивіться на значення косинусів цих кутів. Детальніше про такі співвідношення йтиметься в наступному уроку.

Аналогічним чином виводять усі інші формули для тригонометричних функцій суми і різниці аргументів. Ще такі формули називають формулами додавання.

Прочитайте за підручником виведення іншої формули і в інший спосіб (§10 с.79).




Розберіться також з виведенням решти тригонометричних формул суми і різниці аргументів у тому числі і за вашим підручником (п.25 с.203). Спробуйте вивести формули суми і різниці аргументів обома способами. Зверніть увагу на т.зв. формулу зведення .




Так само, як у попередньому уроку проаналізуйте формули, порівняйте їх по горизонталі і по вертикалі та встановіть закономірності, щоб легше було вивчити.
Потренуйтеся правильно визначати праву і ліву частини формул додавання тут і перевірте свої знання тут.

Перейдіть до розбору прикладів на застосування виведених формул за підручником (с.205-207 Приклади 1-5):




Обчислити значення виразів, не користуючись таблицями Брадіса чи калькулятором (по 1 балу):
24.1. sin15°;
24.2. tg105°;
24.3. cos38°cos22°–sin38°sin22°;
24.4. sin12°cos18°+cos12°sin18°;
24.5. sin142°cos52°–cos142°sin52°.

Спростити вирази (по 2 бали):
24.6. cos2φcosφ+sin2φsinφ;
24.7. sin3γcosγ–cos3γsinγ;
24.8. ;
24.9. 

Довести тотожність (по 2 бали):
24.10. sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ;
24.11. cos(αβ)–cos(α+β)=2sinαsinβ;
24.12. sin(α+β)sin(αβ)=sin2α–sin2β.

Виконати завдання:
24.13. Знайдіть sin(α+β), якщо ,  α – кут ІІ чверті, а β – кут IV чверті. (2 бали)
24.14. Довести, що , якщо кути α, β, γ менші від  та ,. (3 бали)

Обчислити:
24.15. sin21°cos9°+cos21°sin9°; (2 бали)
24.16. cos18°cos63°+sin18°sin63°; (2 бали)
24.17. sin278°cos68°–cos278°sin68°; (2 бали)
24.18. cos32°cos58°–sin32°sin58°; (2 бали)
24.19. Відомо, що α і β – кути ІІ чверті і , . Знайдіть:
а) sin(α+β); (3 бали)
б) sin(αβ); (3 бали)
в) cos(αβ); (3 бали)
г) cos(α+β); (3 бали)

Спростити вирази:
24.20.   (3 бали)
24.21.   (3 бали)

Показати підказки
Власне, допомога тут може бути потрібна лише до завдань 24.1., 24.2. і 24.14. Розглянемо їх по порядку. 24.1., 24.2. – спробуйте представити 15° і 105° у вигляду суми чи різниці таких кутів, значення тригонометричних функцій яких відомі. Щодо 24.14., то розв’язати його допоможе формула тангенса суми двох аргументів. Аргументів три? Так що заважає застосувати її двічі: спочатку для α+β, а потім для (α+β)+γ


Показати відповіді


"6":25 балів"9":37 балів"12":50 балів

Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 30 | Додав: alexander