Урок 25. Формули зведення
11:35


Якщо у тригонометричній функції суми або різниці аргументів один з кутів у дужках дорівнює π,  або 2π (90°, 180°, 270°, 360°), то тоді значення двох тригонометричних функцій у формулі суми та різниці нам відоме, а значить обчислення виразів не становить труднощів:

Як бачимо, завдяки наявності одного з кутів, що дорівнює 270° можемо значення його синуса (косинуса) не обчислювати зовсім, а одразу заміняти умову завдання на відповідь: .

Аналогічним же чином можна вивести і всі інші формули такого типу.
Між іншим, саме тому ці формули і називаються "формулами зведення", що вони "зводять" тригонометричні функції кутів виду , ,  і до тригонометричних функцій кута  α.
Всі формули зведення можна звести ось в таку таблицю:

Як користуватися цією таблицею зрозуміло з самої таблиці. В крайньому лівому стовпці знаходимо функцію, в верхньому рядку – аргумент, на перетині рядка і стовпця функцію, до якої зводиться формула і її знак.

Формул тут, як бачимо, аж 32 і пам'ятати їх потрібно. Як же їх "запхнути" у свою бідолашну пам'ять?
Отут нам на допомогу знову прийде наш знайомий слоник з курсу геометрії 9 класу. Той самий, який махає головою згори вниз для тригонометричних функцій, що пов'язані з кутами 90° та 270° і справа наліво для тригонометричних функцій, що пов'язані з кутами 180° і 360°.
Отже, ще раз розберемося в цьому мнемонічному правилі.
Щоб правильно записати формулу, нам потрібно відповісти на два запитання:
1) змінювати назву функції на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс) і навпаки чи ні?;
2) який знак поставити перед результатом: "плюс" чи "мінус"?

Щоб відповісти на перше запитання, потрібно подивитися, в якому напрямку слоник розмахуватиме головою.

Якщо аргумент функції має вигляд  або , то базові значення цих аргументів належать осі Оу (це кути 90° і 270°) і тоді, рухаючись уздовж вісі ординат слоник розмахуватиме головою згори вниз, відповідаючи на перше запитання ствердно: "Так, змінювати!":

Отже, УСІ тригонометричні функції аргументів, що мають вигляд типу  або змінюють свою назву.

Якщо ж аргумент функції має вигляд  чи , тоді базові значення цих аргументів (180° і 360°) належать осі Ох і, рухаючись уздовж вісі абсцис, слоник розмахуватиме головою по горизонталі, відповідаючи на перше запитання заперечно: "Ні, не змінювати!":

Таким чином ЖОДНА з тригонометричних функцій аргументів, що мають вигляд типу  чи  не змінює свою назву.

Щоб правильно поставити знак результату потрібно лише подивитися на те, в якій чверті опиняється кут початкової функції і поставити у відповіді той знак, який матиме сама початкова функція у цій чверті:


Запишемо формулу для .
1) ФУНКЦІЯ
Оскільки аргумент цієї функції має базове значення , яке розміщене на вісі ординат, то назва функції змінюється на кофункцію (косинус) (слоник махає головою згори вниз, що означає "ТАК").

2) ЗНАК
Кут  – це кут ІІІ координатної чверті. Оскільки синус (початкова функція, тобто, функція-умова) там від'ємний, то від'ємним буде і значення функції-результату. Таким чином маємо, що: .

Прочитайте за підручником п.26 (с.211)


Розберіться також і з геометричною ілюстрацією до формул зведення:


Між іншим, деякі з формул зведення мають ще й геометричне підтвердження, до якого тригонометричне коло не причетне. От зверніть увагу на дивовижну появу формул зведення у звичайному прямокутному трикутнику (див. п.69 на с.104):



Знайти значення виразів:
25.1¹.  (2 бали)
25.2¹.  (2 бали)

Довести:
25.3¹.  (2 бали)
25.4².  (3 бали)
25.5².  (3 бали)
25.6³. α, β і γ – кути трикутника. Доведіть, що в даному випадку справедлива така рівність: sin γ = sinα cosβ + cosα sinβ (4 бали)
25.7³.  (4 бали)
25.8³.  (4 бали)
25.9³.  (4 бали)

Відкрити підказки25.4. У формулах зведення на першому місці стоїть 90°, а на другому α. Значить, перш за все потрібно поміняти їх місцями. Тільки не забудьте врахувати знаки (хоча, там квадрати…). І ще, подумайте, яким з трьох способів краще всього доводити цю тотожність. Подивіться на те, які великі вирази справа і зліва від знака рівності. 25.6. Щоб дорозв’язувати завдання пригадайте, чому дорівнює сума кутів трикутника. 25.7. Пригадайте означення косеканса (Урок 20)


"6":6 балів"9":12 балів"12":18 балів





Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 66 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]