Урок 33. Формули суми й різниці однойменних функцій
17:11

cos(αβ)=sin(α+β)=
cos(α+β)=sin(αβ)=
tg(α+β)=ctg(α+β)=
tg(αβ)=ctg(αβ)=

Як бачимо, є формули для суми і різниці аргументів тригонометричних функцій. А чи не можна вивести формули для суми і різниці не аргументів, а самих тригонометричних функцій, тобто, наприклад, таке: sinα+sinβ і т.п.?

Прочитайте виведення цих формул за підручником (с.229 п.28)



А чому для виведення формули прийнято x + y = α, x – y = β? Невже можна виразити два кути через суму і різницю двох інших?
Звісно, що можна. Потрібно тільки правильно їх підібрати. Подальший же результат, наведений у підручнику – це розв'язання системи рівнянь . Користуючись цим способом легко розкласти на такі складові будь-яку пару кутів. Наприклад, якщо α=70°, а β=30°, то α=50°+20°, а β=50°–30°, таким чином, для α=70°, β=30°, маємо: x=50°, y=20°.


Зверніть увагу на формулу різниці косинусів:
Як бачимо, її можна виразити двома способами.
Встановіть:
1) чим відрізняються ці формули?
2) куди подівся "мінус" перед "двійкою" у другій формулі?
3) чому стала необхідною і можливою така зміна?
4) чому величини кутів α і β (адже з проведеної заміни змінних видно, що α>β) не впливають на знаки в інших формулах?

Застосовувати ці формули досить-таки просто – бери, підставляй і отримуй результати. От тільки якщо робити це, не думаючи, навмання, то потрібного результату досягнемо не скоро!

Спростити вираз: sin2+ sin4– sin6x
Додаємо до першого доданка другий, а потім до суми – третій.


Як бачимо, не дуже-то і спростилось! Замість трьох доданків стало чотири множника. Було три синуса – три синуса і лишилось. Було три різних аргументи – три інших, але також різних аргументи і залишилось.
А що як додати до першого доданка – третій?

Оце вже щось! До речі, зверніть увагу на аргументи функцій – вони стали однаковими! Запам'ятайте цей прийом – вміння приводити аргументи до однакового вигляду нам знадобиться пізніше, при розв'язуванні тригонометричних рівнянь і нерівностей.

Спростити вираз: 
Як виконати додавання? А так, як у попередньому прикладі: до першого доданка – третій.


Так що, при додаванні тригонометричних виразів завжди треба додавати їх через один, до першого – третій, до другого – четвертий?
Справа не в чергуванні функцій, а в їх аргументах. Розглянемо, наприклад чисельник дробу sin4α+sin5α+sin6α. Якщо до 4α додати 6α і результат розділити на 2, то якраз вийде 5α. Таким чином, внаслідок додавання першого доданка до третього матимемо добуток двох функцій, аргумент однієї з яких (5α) дорівнює аргументу другого доданка (sin5α). Це дозволяє утворити доданки 2sin5αcosα і sin5α зі спільним множником sin5α, який можна винести за дужки.
Якщо не виходить утворити однакові півсуми – перевірте, можливо вдасться утворити однакові піврізниці. У будь-якому випадку, кожен такий вибір доводиться робити спочатку добре усе осмисливши і проаналізувавши умову завдання.

Спростити вираз 
Підбираємо порядок додавання. Якщо до першого доданка додати другий, а до третього – четвертий, то в результаті матимемо аргументи 7,5х і 9,5х. Другий спосіб: до першого третій, до другого – четвертий. Результати: 8х і 9х. Знову не те… Залишився ще один варіант: перший доданок і четвертий, другий і третій. Півсуми:  і . Оце вже те, що треба!


Ну а тепер самостійно:

Перетворити вираз на добуток:
33.1.  cos5x+cos8x+cos9x+cos12x; (2 бали)
33.2.  sin2α+sin4α+sin6α (2 бали)
33.3.  sin5α+sin6α+sin7α+sin8α (2 бали)
33.4.  (2 бали)
33.5.  sin87°–sin59°–sin93°+sin61°;  (2 бали)
33.6.  tg30°+tg40°+tg50°+tg60°;  (2 бали)

Спростити вирази:
33.7.   (2 бали)
33.8.   (2 бали)
33.9.  ∠A і ∠B – гострі кути прямокутного трикутника. Доведіть, що
sin2+ sin2= 4sinAsinB (4 бали)
Довести тотожності:
33.10.  (2 бали)
33.11.  (2 бали)
33.12.  (2 бали)
33.13.  (4 бали)
33.14. Виведіть формули для суми і різниці косинуса та синуса cosα + sinα та cosα – sinα (4 бали)


Підказки33.2. Після того, як Ви виконали додавання sin2α та sin6α, винесли за дужки sin4α і отримали у дужках вираз 2cos2α+1, винесіть ще з цього виразу за дужки "двійку". Тоді у Вас вийде . А тепер замініть  на  і додайте косинуси у дужках.
33.4. Виконуйте віднімання першого і третього синусів у чисельнику та першого і третього косинусів у знаменнику, а коли у дужках в чисельнику отримаєте sin2α+1 і у знаменнику sin2α–1, пригадайте, що  і використайте той же прийом, що і з №33.2
33.9.
Виконайте додавання синусів і подивіться на значення отриманих функцій відповідно до умови задачі.
33.11. Можете віднімати дроби, а можна просто показати, що зменшуване дорівнює від'ємнику – тоді і різниця дорівнюватиме нулю!
33.12. Нарешті знайшовся приклад на доведення тотожностей, в якому починати доведення слід справа наліво!
33.13. УВАГА! Формули для cosα+sinα НЕМАЄ! Вірніше, є, але Ви її не знаєте. Тому уважно роздивіться приклад і правильно згрупуйте доданки.
33.14. Ось тепер подумаємо, як же додати синус і косинус! Така сума може бути виведена за допомогою формули суми (різниці) аргументів. Представимо даний вираз у вигляді cosα+sinα=cosα⋅1+sinα⋅1. У формулах суми і різниці аргументів повинні бути добутки косинуса на синус або косинуса на косинус та синус на синус. Тобто, одиницю потрібно представити у вигляді косинуса чи синуса якогось аргументу. Одна проблема: який аргумент підібрати, щоб і синус, і косинус цього аргументу були однаковими? Такий аргумент тільки один: . Для нього . Однак, якщо замість одиниць підставити  і , то отримаємо "зайвий"  в знаменнику. Значить, щоб вираз не змінився, після того як ми його фактично розділили на , тепер потрібно на  помножити. Що робити далі зрозуміло?


Відповіді


"6":18 балів"9":28 балів"12":38 балів

Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 48 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]