Урок 34. Формули добутку тригонометричних функцій
23:47


Стоп-стоп! Які нам ще потрібні формули добутку? У нас уже такі формули є! Де? Так ось же вони:




Треба тільки прочитати їх справа наліво:
 ну і так далі...
Дійсно, якщо є формули перетворення суми і різниці в добуток, то, прочитавши ці формули у зворотному напрямку отримаємо формули перетворення добутку в суму (чи різницю). От тільки користуватися такими формулами навряд чи буде дуже зручно, адже в них, власне, не добутки функцій, а добутки півсум та піврізниць функцій.
Хоча, попрацювавши з ними, можна привести їх до більш-менш прийнятного вигляду.

Беремо першу з цих формул  і починаємо перетворювати.
По-перше, нам потрібен не подвоєний добуток функцій, а просто добуток, тож ділимо обидві частини рівності на 2:

Тепер пригадаємо, що таке , а що таке . Виводячи формули суми і різниці тригонометричних функцій ми ці вирази позначали так: , . Заодно пригадаємо, що з використовуваної тоді системи, слідувало: α y, β – y.
Тепер все, що потрібно, замінимо: .
Все, можна користуватися!

Обчислити, не користуючись таблицями sin52°30′cos7°30′.
За формулою добутку синуса на косинус маємо:


Формули добутку синусів та добутку косинусів можна вивести аналогічно (з яких формул – встановіть самі), а можна ще одним способом, який пропонується в цьому підручнику (с.86, п.6). Прочитайте матеріал і вивчіть виведення формул.

Нічого не зрозуміло! Там написано: "Вивести формули... можна, застосувавши тотожності..." А як їх застосувати?
Не зрозуміло? Значить, розбираємось поступово!
Що собою являють формули (1) і (2), (3) і (4)? Знаходимо їх у тому ж підручнику на сторінці 79. Ось вони:
cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ (1)
cos(αβ) = cosαcosβ + sinαsinβ (2)
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ (3)
sin(αβ) = sinαcosβ – cosαsinβ (4)
Розглянемо першу пару:
cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ (1)
cos(αβ) = cosαcosβ + sinαsinβ (2)
Говорять, з них можна отримати формулу добутку косинусів та добутку синусів:


Як же це зробити? Стоп! Так у формулах (1) і (2) є однакові компоненти! А що як спробувати з першої формули виразити, наприклад, cosαcosβ і підставити те, що вийде в другу формулу:
З формули (1) маємо: cosαcosβ = cos(α+β) + sinαsinβ.
Ну а тепер підставляємо у формулу (2):
cos(αβ) = cos(α+β) + sinαsinβ + sinαsinβ
cos(αβ) = cos(α+β) + 2sinαsinβ
2sinαsinβ = cos(αβ) – cos(α+β)

Ось приблизно так і треба розбиратися у незрозумілих питаннях. А тепер самостійно виведіть інші формули.

Знайдіть у формулах спільне і відмінне – запам'ятати формули буде простіше.

Перетворити вирази на суму:
34.1.        (2 бали)
34.2.    sin10°cos8°cos6°    (2 бали)
34.3.    4sinxcos2x    (2 бали)

Обчислити значення виразів:
34.4.        (2 бали)
34.5.    2cos20°cos40° – cos20°    (2 бали)
34.6.        (2 бали)
34.7.    cos5°cos55°cos65°    (2 бали)
34.8.    tg20°tg40°tg60°tg80°    (2 бали)

Доведіть тотожності:
34.9.        (4 бали)
34.10.  sin3= 4sinxsin(60°–x)sin(60°+x)    (4 бали)
34.11.  tg3= tgxtg(60°x)tg(60°+x)    (4 бали)
34.12.  16sin20°sin40°sin60°sin80° = 3    (4 бали)
34.13.      (4 бали)
34.14.      (4 бали)


Підказки
34.7. Виконайте множення cos55° на cos65°, розкрийте дужки і знову помножте cos5° на cos10°. Як обчислити cos15°? А ось тут написано.
34.8. Подайте тангенси як відношення синуса до косинуса, обчисліть tg60°. Потім помножте sin20° на sin40° та cos20° на cos40°. Після цього внесіть sin80° і cos80° у дужки, виконайте множення і застосуйте до отриманого формули зведення.
34.9. У лівій частині виконуйте множення, а під час перетворення правої – скористайтеся наслідком з однієї з формул зниження степеня, а саме формулою квадрата косинуса, поданою у такому вигляді: 1+cos2α=2cos2α.
34.12. Обчисліть sin60° і помножте sin20° на sin40°. Потім внесіть у дужки sin80° і помножте cos20° на sin80°. Наостанок, в отриманому виразі застосуйте формули зведення. Усі вирази, що містять тригонометричні функції, взаємно знищаться.
34.13. У лівій частині виконайте множення, а у правій представте sin3α як sin(2α+α) і після відповідних перетворень за формулою синуса суми застосуйте формулу зниження степеня.



Відповіді


"6":20 балів"9":30 балів"12":40 балів

Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 104 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]