Урок 39. Деякі складніші задачі
20:38

Математика вчить мислити й разом з тим вселяє віру в безмежні сили людського розуму. Вона виховує волю, характер.
(В.О.Сухомлинський)

У цьому уроці розглянемо деякі тригонометричні задачі, що пропонувалися на олімпіадах з математики




39.2. Обчислити tg20°tg40°tg80°. (Львівський обласний етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004-2005 н.р., 10 клас)
39.3. Відомо, що 2tg2α+5tgα–3=0 і . Знайдіть sin2α. (Обласний етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004-2005 н.р., Миколаївська область, 10 клас)

39.4. Нехай α, β, γ – такі гострі кути, що cosα=tgβ, cosβ=tgγ, cosγ=tgα. Доведіть, що . (ІІІ етап XLIV Всеукраїнської олімпіади юних математиків, 2004 р., 10 клас)
Розв’язання:
За умовою cosα=tgβ. Значить, cos2α=tg2β. Звідси, відповідно до тригонометричних тотожностей одного аргументу, . Але згідно з умовою, cosβ=tgγ, отже маємо . Продовжуємо перетворення правої частини рівності:

Розв'яжемо тепер утворене рівняння , ввівши для зручності змінну z=sin2α. Отримане дробово-раціональне рівняння  після перенесення правої його частини в ліву і зведення до спільного знаменника () трансформується у квадратне z2–3z+1=0, яке має корені  (більше за 1, значить не є розв'язком рівняння  ) і (менше за 1).
Таким чином, . Останнє перетворення виконане в такий же спосіб, як при обчисленні значення sin15° (див. урок 28). Ну і наостанку, щоб правильно вийти з  (потрібен там знак модуля, чи ні?), звернемо увагу на те, що по-перше, значення виразу в дужках додатне, а по-друге, кут α є гострим, значить sinα для цього кута додатний. Таким чином, , що і треба було довести. Аналогічно одержуються рівності для інших кутів.

І знову завдання, які можна спробувати розв'язати самостійно. Не поспішайте одразу зазирати у підказки чи у відповідь. Наш мозок – це невеличкий комп'ютер, йому інколи буває потрібен час, щоб знайти відповідь на задане йому питання. Спробуйте знайти шлях розв'язання самостійно, якщо з першого разу не вдається – відкладіть задачу, дайте голові час на роздуми. Через півгодини знову поверніться до задачі і Ви відчуєте, що за цей час з'явилися якісь нові міркування чи ідеї. Якщо і вони не приводять до потрібного результату – робіть нові перерви. Ну а якщо вже зовсім нічого не виходить – лише тоді звертайтесь до підказок. 

39.5. Обчислити значення виразу cos3°·cos6°·cos9°·cos12°·cos15°·...
39.6. Відомо, що tgα1⋅tgα2⋅tgα3⋅...⋅tgαn=1. Знайти найбільше можливе значення добутку sinα1⋅sinα2⋅sinα3⋅...⋅sinαn

39.7. Якщо для сторін a, b, c і протилежних їм кутів α, β, γ деякого трикутника ABC виконується рівність , то цей трикутник рівнобедрений. Довести це.
Розв'язання:
В правій частині рівності  розкриємо дужки, згрупуємо доданки, які містять в лівій частині, а доданки, які містять – в правій і винесемо їх за дужки: .
Продовжуємо перетворення:



Оскільки аргументи даних тригонометричних функцій – кути трикутника, то α+β+γ=180°. Звідси . Підставивши це значення в рівність  їй можна надати такого вигляду:
 .
Виразивши в цій рівності тангенси через синуси і косинуси, після спрощення отримаємо: . Звідси випливає, що принаймні один з цих множників дорівнює нулю. 
Якщо , то β=α, оскільки –π<βα<π. Два кути трикутника рівні, значить трикутник рівнобедрений.
Розглянемо тепер acosβbcosα=0, тобто acosβ=bcosα. Для будь-якого трикутника, за теоремою синусів, маємо: . Перемноживши почленно дві останні рівності, дістанемо sinαcosβ=sinβcosα або sin(αβ)=0. З цієї рівності слідує, що знову-таки α=β, тому що –π<βα<π.
Таким чином, якщо сторони і кути трикутника ABC задовольняють рівність , то такий трикутник рівнобедрений, бо його кути α і β рівні між собою.

39.8. Доведіть тотожність: 
(До речі, такі суми ще записують так: , що означає суму всіх доданків виду sin, в яких значення змінюються з кожним наступним доданком від m=1 до m=n. Символ Σ (грецька буква "сігма") використовується для позначення суми.)
39.9. Вивести формулу для обчислення суми  (І тур Всеукраїнської олімпіади юних математиків, Кіровоградська область, 1999-2000 н.р., 10 клас)
39.10. Доведіть рівність  (Правильно здогадались, великою грецькою літерою Π ("пі") позначається добуток. Тобто:
.)
39.11. Обчислити: . (Завдання заочного туру олімпіади з математики Сумського національного аграрного університету, 2004 р., 11 клас
Доведіть нерівності:
39.12. 
39.13. 
39.14. 
39.15. 
39.16. Довести, що число  є цілим, знайти це число. (Завдання олімпіади Київського національного університету імені Т.Шевченка, механіко-математичний факультет, 2004 р., 11 клас)

Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 27 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]