Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника S за даними довжинами його сторін a, {\displaystyle b} і c.


Доведення:

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: {\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}, де {\displaystyle \ \gamma } — кут трикутника, що лежить навпроти сторони c.

Згідно з теоремою косинусів {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }. Звідси {\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}.

Тому {\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}

{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}
{\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.

Оскільки справедливі рівності {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a+c-b=2p-2b}, {\displaystyle c-a+b=2p-2a}, отримуємо, що

{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Таким чином, {\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.