Формули радіусів вписаного та описаного кіл правильних многокутників


Теорема

Для правильного n-кутника радіуси вписаного й описаного кіл обчислюються за формулами

          

де r – радіус вписаного кола, R – радіус описаного кола, a – сторона правильного n-кутника

 

Доведення

Розглянемо правильний n-кутник, за стороною AB=a, в який вписане коло (зеленого кольору) й навколо якого описане коло (синього кольору):

 


а точка O - центр цього многокутника

Тоді трикутник AOB – рівнобедрений (OA=OB=R як радіуси описаного кола), а OC – його висота, проведена до основи (оскільки ОС=r – радіус вписаного кола, а радіус, проведений в точку дотику С, як відомо, перпендикулярний до дотичної, тобто сторони многокутника AB).

Розглянемо прямокутний трикутник BOC. У ньому OB=R, OC=r,  , а  (центральний кут многокутника дорівнює , а оскільки ОС ділить центральний кут AOB навпіл, як бісектриса, проведена з вершини рівнобедреного трикутника до його основи, то маємо )

Обчислимо в вищезазначеному прямокутному трикутнику гіпотенузу OB і катет OC. Для цього скористаємось формулами співвідношень між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Оскільки катет, протилежний куту дорівнює добутку другого катета на тангенс цього кута, то маємо , тобто .

Звідси:

Аналогічно  (катет, протилежний до кута дорівнює добутку гіпотенузи на синус цього кута). Отже .

Звідси: .

Теорему доведено.


Для правильного n-кутника зi стороною an
 при n=3,4,6 радіуси вписаних і описаних кіл обчислюються за такими формулами:


Розрахунки за iншими атрибутами, детальна таблиця:



Те саме з площею: