Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c сторони трикутника, а A, B, і C це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos C.\;}

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;}{\displaystyle \cos C=0.\;}

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.
 Нехай a, b і c це сторони трикутника, а A, B і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді {\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;} звідки {\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;}

Це означає, що довжина цього відрізку {\displaystyle a\cdot \sin C.\;} Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна {\displaystyle a\cdot \cos C.\;} Решта довжини b рівна {\displaystyle b-a\cdot \cos C.\;} Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами {\displaystyle a\cdot \sin C,\;}{\displaystyle b-a\cdot \cos C,\;} і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  • {\displaystyle c^{2}=(a\cdot \sin C)^{2}+(b-a\cdot \cos C)^{2}\;}
  • {\displaystyle c^{2}=a^{2}\cdot \sin ^{2}C+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C+a^{2}\cdot \cos ^{2}C\;}
  • {\displaystyle c^{2}=a^{2}\cdot (\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C\;}
  • {\displaystyle \sin ^{2}C+\cos ^{2}C\;} завжди 1, отже
  • {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C\;}