1. 2. Паралелограм та його властивості Трапеція та її властивості Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника і трапеції Теорема Піфагора. Розв'язування прямокутних трикутників Узагальнена теорема Фалеса. Подібність трикутників Чотирикутники
  2. 3. Чотирикутники Чотирикутники – багатокутники, які мають чотири вершини і чотири сторони. Чотирикутники можуть бути опуклими та неопуклими ABCD – опуклий чотирикутник FRLK – неопуклий чотирикутник .
  3. 4. Відрізок, який сполучає дві протилежні вершини називають діагоналлю. AC, BD – діагоналі чотирикутників ABCD RK, FL - діагоналі чотирикутника FRLK Чотирикутники Діагоналі чотирикутників
  4. 5. Чотирикутники Властивості кутів опуклого чотирикутника Властивість 1: сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусів. Властивість 2: сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника , Узятих по одному при кожній вершині чотирикутника, дорівнює 360 градусів.
  5. 6. Чотирикутники Властивість сторін опуклого чотирикутника Властивість: Кожна сторона опуклого чотирикутника менш суми трьох останніх його сторін. AB<AD+DC+BC AD<AB+DC+BC DC<AB+AD+BC BC<AB+AD+DC
  6. 7. Чотирикутники Вписані чотирикутники Чотирикутник називається вписаним, якщо його вершини належать колу Центром описаного довкола чотирикутника кола є точка перетину серединних перпендикулярів всіх сторін чотирикутника. Не всякий чотирикутник може бути описано. Якщо всі серединні перпендикуляри сторін перетинаються в одній точці, то довкола цього чотирикутника можна описати коло. Теорема Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника рівна 180 гр. Теорема зворотна Якщо сума двох протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 гр., то довкола нього можна описати коло.
  7. 8. Чотирикутники Описані чотирикутники Чотирикутник називається описаним довкола кола (коло вписане), якщо всі його сторони торкаются кола Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис всіх внутрішніх кутів. Не у всякий чотирикутник можна вписати в коло. Якщо бісектриси всіх кутів чотирикутника перетинаються в одній точці, то в такий чотирикутник можна вписати коло. Теорема Суми протилежних сторін чотирикутника, описаного довкола кола, рівні. Теорема (зворотна) Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло.
  8. 9. Чотирикутники Віди чотирикутників Трапеція – чотирикутник у якого дві протилежні сторони паралельні Паралелограм – чотирикутник у якого протилежні сторони попарно паралельні Ромб – паралелограм у якого всі сторони однакові
  9. 10. Чотирикутники Види чотирикутників Прямокутник – паралелограм, у якого всі кути прямі Квадрат – прямокутник, у якого всі сторони однакові
    Паралелограм – чотирикутник в якого попарно паралельні протилежні сторони Висотою паралелограма називається перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.
    Властивість 1 (Теорема) В будь-якому паралелограмі протилежні кути рівні, а сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 гр. Властивість 2 (Теорема) Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники Слідство: Протилежні сторони паралелограма рівні  Властивості паралелограма Властивість 3. (Теорема) Діагоналі паралелограма діляться точкою їх перетину навпіл. AO=OC BO=OD Властивість 4. Бісектриси кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом  Ознаки паралелограма Ознака 1: Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні, то він є паралелограмом Ознака 2: Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то він є паралелограмом Ознака 3: Якщо діагоналі чотирикутника поділяються точкою їх перетину навпіл, то він є паралелограмом
    29. Трапеція – чотирикутник в якого дві протилежні сторони паралельні. Сторони, що лежать на паралельних прямих називають основами (BC і AD), інші сторони – бічними сторонами (AB і CD). Якщо бічна сторона трапеції перпендикулярна основі, то така трапеція називається прямою. Якщо бічні сторони трапеції рівні між собою, то така трапеція називається рівнобічною. Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений до однієї з основ трапеції. Середня лінія трапеції – відрізок, який сполучає середини її бічних сторін  Властивості трапеції Властивість 1. (витікає з властивостей паралельних прямих) Сума кутів, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180 гр. Властивість 2. (Теорема) Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює півсумі цих основ
    Рівнобічна трапеція Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічної трапеції: •Кути, прилеглі дооднієї основи рівні. •Сума противолежних кутів дорівнює 180 гр. •Диагоналі рівні •Відрізки діагоналей трапеції, що сполучають точку їх перетину з кінцями однієї основи, рівні між собою. •Навколо рівнобічної трапеції завжди можна описати коло. Ознаки рівнобічної трапеції: Якщо в трапеції виконується одне з таких тверджень: •Кути, прилеглі до однієї основи, рівні •Сума протилежних кутів дорівнює 180 гр •Діагоналі рівні •Трапеція - вписана То ця трапеція є рівнобічною
    33. Теорема Фалеса Теорема Фалеса Якщо паралельні прямі, які перетинають сторон кута, відтинають на одній його стороні два рівні відрізки, то вони відтинають два рівні між собою відрізки і на іншій стороні кута. Теорема обернена до теореми Фалеса Якщо прямі відтинають на одній стороні кута рівні між собою відрізки і на другій стороні кута рівні між собою відрізки, то такі прямі пралельні. Фалес Милетский (VI в до н.е.) був першим із «семи наймудріших» Греції, він був не тільки вченим, а ще й державним діячем, філософом, астрономом, першим за всіх наук Греції.  
    Наслідок 1. Пряма, проведена через середину однієї зі сторін трикутника паралельно його другій стороні, поділяє третю сторону цього трикутника навпіл. Наслідок 2. Якщо на одній стороні кута відкласти рівні між собою відрізки і через їхні кінці провести паралельні прямі, то вони відтинають на другій стороні кута рівні між собою відрізки. Наслідок 3. Якщо рівні відрізки відкладаються на прямій, що перетинає іншу пряму, і точка перетину належить одному з цих відрізків, то паралельні прямі, проведені через кінці даних відрізків, відтинатимуть на другій прямій рівні між собою відрізки. Теорема Фалеса
    Середньою лінією трикутника называється відрізок, який сполучає середини двох сторін цього трикутника Властивість: (теорема) Средня лінія трикутника паралельна стороні трикутника, яку вона не перетинає і дорівнює половині цієї сторони. Властивість. (Теорема) Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює півсумі цих основ.
  10. 52. •Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, є середнім пропорційним між відрізками гіпотенузи, на які вона поділяється цією висотою. •Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Метрічні співвідношення в прямокутному трикутнику.
  11. 53. Теорема 1. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: Теорема 2 (обернена). Якщо у трикутника зі сторонами а, в, с виконується рівність То такий трикутник прямокутний, у якому а та в – катети, с – гіпотенуза. Метрічні співвідношення в прямокутному трикутнику.
  12. 54. Наслідок: Трикутник зі сторонами 3, 4,5 одиниць виміру, - прямокутний. (Такий трикутник називають єгипетським) Властивість єгипетського трикутника використовувався для розподілу плідних земель вздовж річки Ніл.