Головна » 2011 » Липень » 12 » Умова без чисел
18:46
Умова без чисел
В підручнику з алгебри за 9 клас (Бевз Г.П. Алгебра: Проб. підруч. для 7-9 кл. серед. шк. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1997. – С.252.) серед завдань для самостійної роботи з теми "Прогресії" міститься задача, в умові якої немає жодного числа. Однак, задача має розв'язок. Отже, по порядку:
Умова задачі:
    Знайдіть знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо її перший, другий і четвертий члени утворюють арифметичну прогресію.
Розв'язання:
Позначимо перший член геометричної прогресії b1, а знаменник q. Тоді першим членом геометричної прогресії буде  b1, другим  b1q, третім  b1q2, четвертим  b1q3. Оскільки перше, друге і четверте числа є ще й членами арифметичної прогресії, то різниці цих чисел рівні, тобто 

Розв'яжемо утворене рівняння (незважаючи на те, що воно містить дві змінні):

Оскільки  b1 не дорівнює нулю (інакше прогресія складалась би тільки з нулів, а отже не була б зростаючою), то на  b1 можна праву і ліву частини рівняння розділити, тим самим позбувшись від другої змінної в даному рівнянні:

Яке ж з отриманих значень q є розв'язком даної задачі? Зрозуміло, що цим розв'язком не може бути число 1, оскільки така прогресія складатиметься лише з чисел, що дорівнюють b1, а тому не буде зростаючою. Не може бути розв'язком задачі і число –1,62, оскільки за від'ємного знаменника члени прогресії будуть то з мінусом, то з плюсом (знакозмінний ряд), а значить не будуть збільшуватись, така прогресія теж не буде зростаючою. Залишається число 0,62. Однак, якщо знаменник геометричної прогресії менший за одиницю, значить ця прогресія є нескінченно спадною, що теж не відповідає умові задачі. Так що, у задачі немає розв'язку?
А запитаймо про це саму математику! Потрібно тільки правильно сформулювати запитання до неї, щоб отримати зрозумілу відповідь.
Якщо прогресія зростаюча, то кожен її наступний член повинен бути більшим від попереднього. Отже, це запитання може бути сформульоване так: , тобто b1q > b1
Розв'яжемо утворену нерівність:

Те, що вийшло в системі (1) не відповідає отриманим результатам, оскільки 0,62 < 1, а от система (2) якраз і відповідає на питання "Як таке може бути, що знаменник менший за одиницю, а прогресія зростає?" Та все, виявляється, дуже просто: якщо перший член цієї прогресії від'ємний (b1< 0), то от тоді якраз, навіть при знаменнику меншому за 1, прогресія зростатиме (члени такої прогресії ставатимуть все меншими по модулю, але ж, як відомо, з двох від'ємних чисел більшим є те, модуль якого менший!).
От і все.
Відповідь:

Категорія: Красива задача | Переглядів: 1809 | Додав: alexander