Урок 38. Значення тригонометричних функцій для деяких кутів
11:19

В математиці потрібно пам’ятати не формули, а процеси мислення
(В.П.Єрмаков)


Тепер, коли Вам відомо вже багато тригонометричних формул, спробуємо використати їх для обчислення значень тригонометричних функцій, яких немає в таблицях. Наприклад, таких як sin3°, cos18° і т.ін.
Деякі з таких значень функцій є, наприклад, у цьому довіднику. От тільки як вони були виражені?

Обчислення значень тригонометричних функцій для кутів, кратних 15°.
Для обчислення значень тригонометричних функцій кутів, кратних 15, нам потрібно знати значення тригонометричних функцій для самого кута 15°. Такі значення вже були обчислені в завданнях Уроку 24. Для цього використовують формули суми і різниці аргументів.
Так, наприклад, значення синуса 15° можна обчислити таким чином:

Аналогічно, Ну і, розділивши синус на косинус (косинус на синус), отримуємо значення тангенса (котангенса) для кута 15°:
.
Знаючи тепер ці величини, можемо порахувати значення тригонометричних функцій для будь-яких аргументів, кратних 15°.











Замість ctg(330°+15°) можна було написати ctg(360°–15°). Тоді отримали б формулу зведення і обчислити значення ctg345° можна було б значно швидше.

38.1.  Обчислити 
значення тригонометричних функцій для кутів 75°, 105°, 165°, 195° і 285°. Правильність своїх відповідей перевірте за таблицею в довіднику.

Обчислення значень тригонометричних функцій для кутів, кратних 18°.
Обчислимо значення sin18°. Для цього формули суми і різниці аргументів явно не підходять, оскільки кут у 18° неможливо виразити через пару кутів, значення тригонометричних функцій яких нам відомі.
Дістатися до sin18° можна через sin36°, формули подвійного і потрійного аргументів, основну тригонометричну тотожність, формули зведення та, як це не дивно, квадратне рівняння.
Ось як це буде.
Згідно з формулою синуса подвійного аргументу синус кута 36° можна виразити як sin36° = sin2∙18° = 2sin18°cos18°. З іншого боку, синус 36° це ще і sin36° = sin(90°–54°) = cos54° = cos3∙18°.
Таким чином, отримуємо рівність sin2∙18° = cos3∙18°.
Використаємо тепер формули подвійного (sin2α=2sinαcosα) і потрійного (cos3α=4cos3α–3cosα) аргументів і запишемо отриману рівність у вигляді 2sin18°cos18° = 4cos318°–3cos18°.
Розділимо праву і ліву частини рівності на cos18° (за результат ділення можна не хвилюватися, адже, очевидно, cos18°≠0 ).
Маємо:

2sin18° = 4cos218°–3
Перенесемо 2sin18° в праву частину рівності і "розвернемо" цю рівність справа наліво:
4cos218°–2sin18°–3=0
4(1–sin218°) – sin18°–3=0
4–4sin218°–2sin18°–3=0
–4sin218°–2sin18°+1=0
4sin218°+2sin18°–1=0
Тепер до відповіді зовсім близько, оскільки маємо рівність, яка нагадує квадратне рівняння, в якому на місці невідомої змінної стоїть такий потрібний нам sin18° (тим більше, що ми його якраз-таки і не знаємо).
Зробимо для зручності заміну sin18°=x і розв'яжемо квадратне рівняння:
4x2+2x–1=0.
D=22–4∙4∙(–1)=20


Залишилось тільки визначити, яке з двох значень змінної x відповідає значенню sin18° (адже ніяк не може sin18° мати два значення!).
Неважко визначити, що , оскільки , а кут 18° належить першій координатній чверті, значить там sin18°>0 .
Отже,  .
Значення cos18° виводиться аналогічно. Виконайте це перетворення самостійно. Що ж до значень тангенса і котангенса, то, мабуть, вже зрозуміло, як їх отримати.

38.2. 
Обчисліть значення тригонометричних функцій для кутів 36°, 54°, 72°, 108°, 117°. Правильність своїх відповідей перевірте за таблицею в довіднику.

Підказка38.2. 36°=2·18° – значить можна використати формулу подвійного кута. 54° – можна визначити, уважно перечитавши виведення sin18°. 72°=54°+18°. 108°=90°+18°. 117°=135°–18°


Знайдемо значення sin3° і cos3°.

Тепер, користуючись отриманими відомостями, можна обчислити значення тригонометричних функцій для інших кутів, представляючи кути у вигляді суми або різниці, добутку або частки аргументів, значення тригонометричних функцій яких відомі. Можете потренуватися у виконанні цих дій, спробувати обчислити, наприклад, sin6°, cos12°, тощо.


Категорія: Тригонометричні функції | Переглядів: 200 | Додав: alexander
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]